15. В прямоугольном треугольнике ACB (∠C = 90°) проведена высота CD. Гипотенуза AB равна 8 см, ∠CBA = 30°. Найдите BD.

Задание 15. Отрезок BD в прямоугольном треугольнике

Дано:

• Прямоугольный треугольник \( \triangle ABC \).
• \( \text{∠C} = 90^\text{°} \).
• \( CD \) — высота.
• Гипотенуза \( AB = 8 \) см.
• \( \text{∠CBA} = 30^\text{°} \).

Найти: отрезок \( BD \).

Решение:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle ABC \).
2. В нем \( \text{∠CBA} = 30^\text{°} \) и гипотенуза \( AB = 8 \) см.
3. Катет, лежащий напротив угла в \( 30^\text{°} \), равен половине гипотенузы. Катет \( AC \) лежит напротив угла \( \text{∠CBA} = 30^\text{°} \).
4. Следовательно, \( AC = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \times 8 = 4 \) см.
5. Найдем катет \( BC \), используя теорему Пифагора: \( BC^2 = AB^2 - AC^2 \)
6. \( BC^2 = 8^2 - 4^2 = 64 - 16 = 48 \)
7. \( BC = \text{√}48 = \text{√}(16 \times 3) = 4\text{√}3 \) см.
8. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle BDC \). В нем \( \text{∠CDB} = 90^\text{°} \) (так как \( CD \) — высота).
9. Угол \( \text{∠CBD} = \text{∠CBA} = 30^\text{°} \) (это тот же угол).
10. В прямоугольном треугольнике \( \triangle BDC \) катет \( BD \) лежит напротив угла \( \text{∠BCD} \). Угол \( \text{∠BCD} = 90^\text{°} - \text{∠CBD} = 90^\text{°} - 30^\text{°} = 60^\text{°} \).
11. Однако, нам проще найти \( BD \) как отрезок, прилежащий к углу \( 30^\text{°} \) в треугольнике \( \triangle BDC \).
12. Используем соотношение для прямоугольного треугольника \( \triangle BDC \): \( \text{cos}(\text{∠CBA}) = \frac{BC}{BD} \).
13. \( \text{cos}(30^\text{°}) = \frac{4\text{√}3}{BD} \)
14. Мы знаем, что \( \text{cos}(30^\text{°}) = \frac{\text{√}3}{2} \).
15. \( \frac{\text{√}3}{2} = \frac{4\text{√}3}{BD} \)
16. Отсюда \( BD = \frac{4\text{√}3 \times 2}{\text{√}3} = 4 \times 2 = 8 \) см.
17. Альтернативный подход:
18. В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABC \), высота \( CD \) делит гипотенузу \( AB \) на отрезки \( AD \) и \( BD \).
19. Рассмотрим \( \triangle ABC \). Угол \( \text{∠CAB} = 90^\text{°} - \text{∠CBA} = 90^\text{°} - 30^\text{°} = 60^\text{°} \).
20. В прямоугольном треугольнике \( \triangle ADC \), \( \text{∠ADC} = 90^\text{°} \) и \( \text{∠CAD} = 60^\text{°} \).
21. Тогда \( \text{∠ACD} = 90^\text{°} - 60^\text{°} = 30^\text{°} \).
22. В \( \triangle ADC \), катет \( AD \) лежит напротив угла \( 30^\text{°} \), поэтому \( AD = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \times 4 = 2 \) см.
23. Так как \( AB = AD + BD \), то \( BD = AB - AD = 8 - 2 = 6 \) см.

Примечание: В первом подходе была ошибка в применении косинуса. Правильно было бы использовать синус угла B для нахождения катета CD, а затем косинус угла B для нахождения BD. Или, как во втором подходе, использовать свойства треугольника ADC.

Исправленное решение с использованием свойств высоты, проведенной из вершины прямого угла:

1. Из \( \triangle ABC \), \( \text{∠CBA} = 30^\text{°} \), \( AB = 8 \) см.
2. Катет \( AC = AB \text{ sin}(30^\text{°}) = 8 \times \frac{1}{2} = 4 \) см.
3. Катет \( BC = AB \text{ cos}(30^\text{°}) = 8 \times \frac{\text{√}3}{2} = 4\text{√}3 \) см.
4. Высота \( CD \) в прямоугольном треугольнике обладает свойством: \( CD^2 = AD \times BD \).
5. Также, \( AC^2 = AD \times AB \) и \( BC^2 = BD \times AB \).
6. Используем \( BC^2 = BD \times AB \):
7. \( (4\text{√}3)^2 = BD \times 8 \)
8. \( 48 = BD \times 8 \)
9. \( BD = \frac{48}{8} = 6 \) см.

Ответ: BD = 6 см.