15. В равнобедренной трапеции EFRТ диагональ ER проведена; ∠TER = 75°. Отметками показано, что ET = EF = FR. Найти углы трапеции.

Пусть θ — угол, который боковая сторона ET образует с горизонтальным направлением в сторону основания TR. Поскольку ET = EF, длина верхнего основания равна длине боковой стороны. Горизонтальная проекция ET равна EF · cos θ, а высота трапеции — EF · sin θ.

Диагональ ER имеет горизонтальную проекцию EF + EF · cos θ и вертикальную — EF · sin θ. Следовательно, угол её наклона к основанию равен θ/2, так как tan(θ/2) = sin θ/(1 + cos θ).

Угол между ET и ER равен 180° − θ − θ/2. По условию он равен 75°, поэтому θ = 70°. Тогда нижние углы трапеции равны 70°, а верхние — 180° − 70° = 110°.

Ответ: ∠T = ∠R = 70°, ∠E = ∠F = 110°.