15. В треугольнике ABC известно, что AB=2, BC=3, AC=4. Найдите cos ∠ABC.

Задание 15. Косинус угла в треугольнике

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой косинусов. Теорема косинусов гласит, что квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

В нашем случае, мы знаем длины всех сторон треугольника ABC: AB = 2, BC = 3, AC = 4. Мы хотим найти косинус угла ∠ABC, который обозначим как cos ∠B.

По теореме косинусов для угла B имеем:

\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos ∠B \]

Подставим известные значения:

\[ 4^2 = 2^2 + 3^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cos ∠B \]

Вычислим квадраты:

\[ 16 = 4 + 9 - 12 \cdot \cos ∠B \]

\[ 16 = 13 - 12 \cdot \cos ∠B \]

Теперь выразим член с косинусом:

\[ 16 - 13 = -12 \cdot \cos ∠B \]

\[ 3 = -12 \cdot \cos ∠B \]

Найдем cos ∠B:

\[ \cos ∠B = \frac{3}{-12} \]

\[ \cos ∠B = -\frac{1}{4} \]

Ответ: cos ∠ABC = -1/4.