15. В треугольнике ABC отмечены середины M и N сторон BC и AC соответственно. Площадь треугольника CNM равна 24. Найдите площадь четырехугольника ABMN.

Решение:

По условию M — середина BC, а N — середина AC. Это значит, что MN является средней линией треугольника ABC.

• Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине. Следовательно, \( MN \parallel AB \) и \( MN = \frac{1}{2} AB \).
• Треугольник CNM подобен треугольнику CAB. Коэффициент подобия равен отношению соответствующих сторон, то есть \( k = \frac{CN}{CA} = \frac{CM}{CB} = \frac{MN}{AB} = \frac{1}{2} \).
• Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

\[ \frac{S_{CNM}}{S_{CAB}} = k^2 \]\[ \frac{S_{CNM}}{S_{CAB}} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \]

Нам дана площадь треугольника CNM: \( S_{CNM} = 24 \).

Теперь найдём площадь всего треугольника ABC:

\( S_{CAB} = 4 \cdot S_{CNM} = 4 \cdot 24 = 96 \).

Площадь четырехугольника ABMN равна разности площадей треугольника ABC и треугольника CNM:

\( S_{ABMN} = S_{CAB} - S_{CNM} = 96 - 24 = 72 \).

Чертеж:

A
B
C

M

N

Ответ: 72.