15. В треугольнике ABC проведены медиана CM и высота CH (см. рис. 97). Известно, что AB = 48 и BC = CM. Найдите AH.

Так как CM — медиана, точка M — середина AB, поэтому AM = MB = 48 : 2 = 24.

Поскольку CH ⟂ AB, треугольники CHM и CHB прямоугольные. По теореме Пифагора и условию CM = BC:

CM² = CH² + MH², BC² = CH² + HB², следовательно, MH² = HB². Так как M и H лежат на AB, получаем MH = HB.

Тогда MB = MH + HB = 2MH = 24, откуда MH = 12.

AH = AM + MH = 24 + 12 = 36.

Ответ: 36.