15. В треугольнике ABC угол A равен 30°, угол B равен 45°, BC = 10√2. Найдите длину стороны AC.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов, которая гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла постоянно для всех сторон и углов данного треугольника. Таким образом, имеем: \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}. Подставим известные значения: \frac{10\sqrt{2}}{\sin 30^\circ} = \frac{AC}{\sin 45^\circ}. \sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}. Подставляя синусы углов, получаем: \frac{10\sqrt{2}}{1/2} = \frac{AC}{\sqrt{2}/2} или 20\sqrt{2} = \frac{2AC}{\sqrt{2}}. Умножаем обе части на \frac{\sqrt{2}}{2}: 20\sqrt{2} * \frac{\sqrt{2}}{2} = AC. AC = 20* \frac{2}{2} = 20. Ответ: 20.