№ 15. В треугольнике ABC высоты AA₁ и CC₁ равны, AC₁ = BA₁. Найдите угол B.

Обозначим \(\angle B=\beta\). Пусть \(AA_1=CC_1=h\), а \(AC_1=BA_1=x\).

Из прямоугольных треугольников \(ABA_1\) и \(CBC_1\):

\(AB=\dfrac{x}{\cos\beta}\), \(BC=\dfrac{x}{\sin\beta}\).

Площадь треугольника можно выразить двумя способами:

\(S=\dfrac12 AC\cdot h\), а также \(S=\dfrac12 AB\cdot BC\cdot\sin\beta\).

С учётом равенства отрезков \(AC_1=BA_1\neq0\) получаем условие \(\sin\beta=\cos\beta\). Следовательно, \(\beta=45^\circ\).

Ответ: 45°.