№ 16. В треугольнике ABC проведена медиана BM, AB = BM = MC = x. Через точку M проведена прямая a, параллельная прямой BC. а) Найдите расстояние от точки A до прямой BC. б) Найдите расстояние между прямыми a и BC.

Так как BM — медиана, то M — середина AC. Поэтому \(AM=MC=x\), а по условию \(AB=BM=MC=x\).

Следовательно, в треугольнике ABM все стороны равны \(x\), то есть он равносторонний. Поэтому \(\angle BAM=60^\circ\).

Высота равностороннего треугольника ABM равна

\(h=\frac{x\sqrt3}{2}\).

Прямая BC совпадает с прямой MC, а расстояние от A до BC равно высоте к основанию BM в равностороннем треугольнике, то есть

а) \(d(A,BC)=\frac{x\sqrt3}{2}\).

Точка M является серединой AC, поэтому расстояния от A и C до параллельных прямых a и BC относятся как соответствующие отрезки. Поскольку M находится посередине AC, расстояние между a и BC равно половине расстояния от A до BC:

б) \(d(a,BC)=\frac{x\sqrt3}{4}\).

Ответ: а) \(\frac{x\sqrt3}{2}\); б) \(\frac{x\sqrt3}{4}\).