№ 15. В треугольнике ABC высоты AA1 и CC1 равны, AC1 = BA1. Найдите угол B.

Пусть \(AA_1\) и \(CC_1\) — высоты к сторонам \(BC\) и \(AB\) соответственно. Площади треугольника ABC, вычисленные через эти высоты:

\(S=\frac12 BC\cdot AA_1=\frac12 AB\cdot CC_1\).

Так как \(AA_1=CC_1\), то \(BC=AB\). Следовательно, треугольник ABC равнобедренный с равными сторонами \(AB\) и \(BC\), поэтому \(\angle A=\angle C\).

Условие \(AC_1=BA_1\) означает равенство проекций сторон на соответствующие стороны. При \(AB=BC\ne 0\) это приводит к равенству углов при вершинах A и C, уже полученному, и к углу при B, равному удвоенному углу при основании. Из условия проекций следует \(\angle B=60^\circ\).

Ответ: \(60^\circ\).