15. В треугольнике АВС угол А равен 30°, угол В равен 45°, ВС = 8√2. Найдите АС.

Решение:

Для решения используем теорему синусов для треугольника ABC:

\[ \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A} \]

Нам дано:

• \( \angle A = 30^{\circ} \)
• \( \angle B = 45^{\circ} \)
• \( BC = 8\sqrt{2} \)

Подставим известные значения в формулу:

\[ \frac{AC}{\sin 45^{\circ}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sin 30^{\circ}} \]

Знаем, что \( \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) и \( \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} \).

Подставляем эти значения:

\[ \frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} \]

Выразим AC:

\[ AC = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 8\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} \]

\[ AC = \frac{\frac{16}{2}}{\frac{1}{2}} \]

\[ AC = \frac{8}{\frac{1}{2}} \]

\[ AC = 8 \cdot 2 \]

\[ AC = 16 \]

Ответ: AC = 16.