152. На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что угол АОВ прямой. Отрезок ВС – диаметр. Докажите, что хорды АВ и АС равны.

Угол AOB прямой. Так как BC диаметр, то угол BAC = 90 градусов, как опирающийся на диаметр. Треугольник AOB является прямоугольным, так как угол AOB равен 90 градусов. Рассмотрим треугольник ABC, угол BAC = 90 градусов. AO = BO = CO (радиусы). Рассмотрим треугольник OAB - прямоугольный, где AO = OB. Треугольник OAB является равнобедренным прямоугольным. Также, треугольник OAC является равнобедренным, где OA = OC. Так как угол AOB=90, то угол BOC = 180 - 90 = 90. Угол AOB и угол BOC смежные, каждый равен 90 градусам. Углы OAB, OBA, OAC, OCA равны 45 градусам. Треугольники AOB и COB равны по 2 сторонам и углу между ними, так как стороны AO = CO = BO (радиусы) и угол AOB = BOC = 90 градусов. Следовательно, AB=BC. Так как треугольник ABC прямоугольный, а BO медиана, то BO = AO = CO = 1/2*BC. Следовательно, AB=AC.