156. 1) √(2x − 34) = 1 + √x; 2) √(5x) + √(14 − x) = 8; 3) √(15 + x) + √(3 + x) = 6; 4) √(3 − 2x) − √(1 − x) = 1.

1) Область определения: x ≥ 17. Возводим в квадрат: 2x − 34 = 1 + 2√x + x, поэтому x − 35 = 2√x. Обозначим t = √x: получаем t² − 2t − 35 = 0, откуда t = 7 (корень −5 не подходит). Тогда x = 49. Проверка: обе части равны 8.

2) Область определения: 0 ≤ x ≤ 14. Возводим в квадрат: 50 − 4x = 2√(5x(14 − x)). Левая часть неотрицательна, поэтому x ≤ 12,5. После повторного возведения в квадрат получаем 9x² − 170x + 625 = 0, откуда x = 5 или x = 125/9. Проверка в исходном уравнении: при x = 5 сумма корней равна 5 + 3 = 8; при x = 125/9 равенство не выполняется. Значит, подходит только x = 5.

3) Пусть t = √(x + 3), где t ≥ 0. Тогда √(x + 15) = √(t² + 12), и уравнение принимает вид √(t² + 12) + t = 6. Следовательно, √(t² + 12) = 6 − t. Возводим в квадрат: t² + 12 = 36 − 12t + t², откуда t = 2 и x = 1. Проверка: √16 + √4 = 6.

4) Пусть t = √(1 − x), где t ≥ 0. Тогда √(3 − 2x) = √(1 + 2t²). Возводим в квадрат уравнение √(1 + 2t²) = 1 + t: получаем t(t − 2) = 0. Значит, t = 0 или t = 2, откуда x = 1 или x = −3. Оба значения удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ: 1) x = 49; 2) x = 5; 3) x = 1; 4) x = −3, 1.