Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 156. Решите уравнения: 1) √(2x − 34) = 1 + √x; 2) √(5x) + √(14 − x) = 8; 3) √(15 + x) + √(3 + x) = 6; 4) √(3 − 2x) − √(1 − x)…Фото задания

Ответ:

  1. Область определения: x ≥ 17. Положим t = √x, так что t ≥ 0. После возведения в квадрат получаем 2t² − 34 = (1 + t)², то есть t² − 2t − 35 = 0. Корни 7 и −5; подходит t = 7, поэтому x = 49. Проверка: √(98 − 34) = 8 = 1 + 7.

  2. Область определения: 0 ≤ x ≤ 14. Возводим в квадрат: 4x + 14 + 2√(5x(14 − x)) = 64. Значит, √(5x(14 − x)) = 25 − 2x; правая часть неотрицательна на области определения. Ещё раз возводим в квадрат: (25 − 2x)² = 5x(14 − x), откуда 9x² − 170x + 625 = 0. Корни: x = 5 и x = 125/9. Оба принадлежат области определения и удовлетворяют исходному уравнению.

  3. Область определения: x ≥ −3. После возведения в квадрат: 18 + 2x + 2√((x + 15)(x + 3)) = 36, поэтому √((x + 15)(x + 3)) = 9 − x и необходимо x ≤ 9. Повторное возведение в квадрат даёт (x + 15)(x + 3) = (9 − x)², откуда x = 1. Проверка: √16 + √4 = 6.

  4. Обозначим A = √(3 − 2x), B = √(1 − x). Тогда A − B = 1, а A² − B² = 2 − x. Следовательно, A + B = 2 − x, откуда A = (3 − x)/2 и B = (1 − x)/2. Из B² = 1 − x получаем (1 − x)²/4 = 1 − x. Поэтому x = 1 или x = −3. Проверка подтверждает оба корня.

Ответ: 1) 49; 2) 5, 125/9; 3) 1; 4) −3, 1.