156. Выполните действия: а) \(\left(\dfrac{1}{y}+\dfrac{2}{x-y}\right)\left(x-\dfrac{x^2+y^2}{x+y}\right)\); б) \(\left(a+b-\dfrac{2ab}{a+b}\right):\left(\dfrac{a-b}{a+b}+\dfrac{b}{a}\right)\); в) \((x^2-1)\left(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}+1\right)\); г) \(\left(m+1-\dfrac{1}{1-m}\right):\left(m-\dfrac{m^2}{m-1}\right)\).

Упростим каждую скобку:

\(\dfrac1y+\dfrac2{x-y}=\dfrac{x+y}{y(x-y)}\),

\(x-\dfrac{x^2+y^2}{x+y}=\dfrac{x(x+y)-(x^2+y^2)}{x+y}=\dfrac{y(x-y)}{x+y}\).

Перемножим и сократим:

\(\dfrac{x+y}{y(x-y)}\cdot\dfrac{y(x-y)}{x+y}=1\).

Ограничения: \(y\ne0\), \(x\ne y\), \(x\ne-y\).

Преобразуем делимое:

\(a+b-\dfrac{2ab}{a+b}=\dfrac{(a+b)^2-2ab}{a+b}=\dfrac{a^2+b^2}{a+b}\).

Преобразуем делитель:

\(\dfrac{a-b}{a+b}+\dfrac ba=\dfrac{a(a-b)+b(a+b)}{a(a+b)}=\dfrac{a^2+b^2}{a(a+b)}\).

Разделим дроби:

\(\dfrac{a^2+b^2}{a+b}:\dfrac{a^2+b^2}{a(a+b)}=a\).

Ограничения: \(a\ne0\), \(a+b\ne0\).

Сначала упростим разность дробей:

\(\dfrac1{x-1}-\dfrac1{x+1}=\dfrac{2}{x^2-1}\).

Тогда

\((x^2-1)\left(\dfrac{2}{x^2-1}+1\right)=(x^2-1)\cdot\dfrac{x^2+1}{x^2-1}=x^2+1\).

Ограничения: \(x\ne-1,1\).

Упростим делимое, учитывая \(\dfrac1{1-m}=-\dfrac1{m-1}\):

\(m+1-\dfrac1{1-m}=m+1+\dfrac1{m-1}=\dfrac{m^2}{m-1}\).

Упростим делитель:

\(m-\dfrac{m^2}{m-1}=\dfrac{m(m-1)-m^2}{m-1}=-\dfrac{m}{m-1}\).

Выполним деление:

\(\dfrac{m^2}{m-1}:\left(-\dfrac{m}{m-1}\right)=-m\).

Ограничения: \(m\ne1,0\).