158 Докажите свойство отклонений от среднего арифметического. Пусть дан набор чисел х1, х2, х3, ..., хn и их среднее арифметическое равно х. Покажите, что сумма всех отклонений равна нулю:

Доказательство:

Пусть дан набор чисел \( x_1, x_2, x_3, \dots, x_n \). Среднее арифметическое этого набора обозначается \( \bar{x} \) и вычисляется по формуле:

\[ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_n}{n} \]

Это можно записать как:

\[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \]

Теперь рассмотрим сумму отклонений каждого числа от среднего арифметического:

\[ S = (x_1 - \bar{x}) + (x_2 - \bar{x}) + (x_3 - \bar{x}) + \dots + (x_n - \bar{x}) \]

Это можно записать как:

\[ S = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}) \]

Раскроем скобки и сгруппируем члены:

\[ S = (x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_n) - (\bar{x} + \bar{x} + \bar{x} + \dots + \bar{x}) \]

Сумма \( n \) слагаемых \( \bar{x} \) равна \( n \cdot \bar{x} \). Таким образом:

\[ S = \sum_{i=1}^{n} x_i - n \cdot \bar{x} \]

Подставим выражение для \( \bar{x} \):

\[ S = \sum_{i=1}^{n} x_i - n \cdot \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \]

Сократим \( n \):

\[ S = \sum_{i=1}^{n} x_i - \sum_{i=1}^{n} x_i \]

\[ S = 0 \]

Таким образом, доказано, что сумма всех отклонений от среднего арифметического равна нулю.

Что и требовалось доказать.