158. Решите неравенства: а) sin 2x < 1/2; б) cos (x/3) > √3/2; в) sin (x/2) < −√3/2; г) tg 5x > 1.

Во всех пунктах \(k\in\mathbb Z\).

1. а) Для \(t=2x\): \(\sin t<\frac12\), поэтому \(t\in\left(\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\frac{13\pi}{6}+2\pi k\right)\). Делим границы на 2: \(x\in\left(\frac{5\pi}{12}+\pi k,\frac{13\pi}{12}+\pi k\right)\).
2. б) Для \(t=\frac{x}{3}\): \(\cos t>\frac{\sqrt3}{2}\) при \(t\in\left(-\frac{\pi}{6}+2\pi k,\frac{\pi}{6}+2\pi k\right)\). Умножаем границы на 3: \(x\in\left(-\frac{\pi}{2}+6\pi k,\frac{\pi}{2}+6\pi k\right)\).
3. в) Для \(t=\frac{x}{2}\): \(\sin t<-\frac{\sqrt3}{2}\) при \(t\in\left(\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\frac{4\pi}{3}+2\pi k\right)\). Умножаем границы на 2: \(x\in\left(\frac{4\pi}{3}+4\pi k,\frac{8\pi}{3}+4\pi k\right)\).
4. г) На каждом промежутке возрастания тангенса \(\tan t>1\) при \(t\in\left(\frac{\pi}{4}+\pi k,\frac{\pi}{2}+\pi k\right)\). Подставляем \(t=5x\) и делим на 5: \(x\in\left(\frac{\pi}{20}+\frac{\pi k}{5},\frac{\pi}{10}+\frac{\pi k}{5}\right)\).