162. Решите неравенства: а) 3 sin (x/4) ≥ 2; б) 4 cos (x/3) < −3; в) 5 tg 2x ≤ 3; г) 0,5 sin 4x < −0,2.

Во всех пунктах \(k\in\mathbb Z\). Введём \(\alpha=\arcsin\frac23\), \(\beta=\arccos\left(-\frac34\right)\), \(\gamma=\arctan 3\).

1. а) Делим на 3: \(\sin\frac{x}{4}\ge\frac23\). Поэтому \(\frac{x}{4}\in[\alpha+2\pi k,\pi-\alpha+2\pi k]\), и \(x\in[4\alpha+8\pi k,4\pi-4\alpha+8\pi k]\).
2. б) Делим на 4: \(\cos\frac{x}{3}< -\frac34\). Значит, \(\frac{x}{3}\in(\beta+2\pi k,2\pi-\beta+2\pi k)\), откуда \(x\in(3\beta+6\pi k,6\pi-3\beta+6\pi k)\).
3. в) Делим на 5: \(\tan 2x\le\frac35\). На каждом промежутке определения тангенса \(2x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k,\gamma+\pi k\right]\). Следовательно, \(x\in\left(-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\frac{\gamma}{2}+\frac{\pi k}{2}\right]\).
4. г) Делим на \(0{,}5\): \(\sin4x<-\frac25\). При \(\delta=\arcsin\frac25\) имеем \(4x\in(\pi+\delta+2\pi k,2\pi-\delta+2\pi k)\). Поэтому \(x\in\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\delta}{4}+\frac{\pi k}{2},\frac{\pi}{2}-\frac{\delta}{4}+\frac{\pi k}{2}\right)\).