160. Решите неравенства: а) sin x cos (π/6) − cos x sin (π/6) ≤ 1/2; б) sin (π/4) cos x + cos (π/4) sin x < −√2/2; в) 4 sin 2x cos 2x ≥ √2; г) cos (π/8) cos x − sin x sin (π/8) < −√3/2.

Во всех пунктах \(k\in\mathbb Z\). Используем формулы синуса разности, синуса суммы и косинуса суммы.

1. а) Левая часть равна \(\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\). Для \(\sin t\le\frac12\): \(t\in\left[\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\frac{13\pi}{6}+2\pi k\right]\). Значит, \(x\in\left[\pi+2\pi k,\frac{7\pi}{3}+2\pi k\right]\).
2. б) Левая часть равна \(\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\). Условие \(\sin t<-\frac{\sqrt2}{2}\) выполняется при \(t\in\left(\frac{5\pi}{4}+2\pi k,\frac{7\pi}{4}+2\pi k\right)\). Поэтому \(x\in\left(\pi+2\pi k,\frac{3\pi}{2}+2\pi k\right)\).
3. в) По формуле двойного угла \(4\sin2x\cos2x=2\sin4x\). Получаем \(\sin4x\ge\frac{\sqrt2}{2}\), откуда \(x\in\left[\frac{\pi}{16}+\frac{\pi k}{2},\frac{3\pi}{16}+\frac{\pi k}{2}\right]\).
4. г) Левая часть равна \(\cos\left(x+\frac{\pi}{8}\right)\). Условие \(\cos t<-\frac{\sqrt3}{2}\) даёт \(t\in\left(\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\frac{7\pi}{6}+2\pi k\right)\). Следовательно, \(x\in\left(\frac{17\pi}{24}+2\pi k,\frac{25\pi}{24}+2\pi k\right)\).