159. Решите неравенства: а) 2 cos (2x + π/3) ≤ 1; б) √3 tg (3x + π/6) < 1; в) √2 sin (π/4 + x/2) ≥ 1; г) 2 cos (4x − π/6) > √3.

Во всех пунктах \(k\in\mathbb Z\).

1. а) Делим на 2 и обозначаем \(t=2x+\frac{\pi}{3}\). Условие \(\cos t\le\frac12\) даёт \(t\in\left[\frac{\pi}{3}+2\pi k,\frac{5\pi}{3}+2\pi k\right]\). Следовательно, \(2x\in[2\pi k,\frac{4\pi}{3}+2\pi k]\), и \(x\in\left[\pi k,\frac{2\pi}{3}+\pi k\right]\).
2. б) Делим на \(\sqrt3\), полагаем \(t=3x+\frac{\pi}{6}\). На каждом промежутке определения \(\tan t<\frac{1}{\sqrt3}\) при \(t\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k,\frac{\pi}{6}+\pi k\right)\). Поэтому \(x\in\left(-\frac{2\pi}{9}+\frac{\pi k}{3},\frac{\pi}{36}+\frac{\pi k}{3}\right)\).
3. в) Делим на \(\sqrt2\), полагаем \(t=\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\). Из \(\sin t\ge\frac{\sqrt2}{2}\) получаем \(t\in\left[\frac{\pi}{4}+2\pi k,\frac{3\pi}{4}+2\pi k\right]\). Отсюда \(x\in[4\pi k,\pi+4\pi k]\).
4. г) Делим на 2 и полагаем \(t=4x-\frac{\pi}{6}\). Условие \(\cos t>\frac{\sqrt3}{2}\) даёт \(t\in\left(-\frac{\pi}{6}+2\pi k,\frac{\pi}{6}+2\pi k\right)\). Следовательно, \(x\in\left(\frac{\pi k}{2},\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{2}\right)\).