159. Докажите, что верно равенство: а) √361 = 19; б) ∛343 = 7; в) ⁶√(1/64) = 1/2; г) ⁵√(32/243) = 2/3; д) ¹⁰√1 = 1; е) ⁷√0 = 0; ж) √(7 − 4√3) = 2 − √3; з) √(9 − 4√5) = √5 − 2.

Для корней проверим, что указанное число неотрицательно и его соответствующая степень равна подкоренному выражению. Для квадратных корней дополнительно проверим неотрицательность правой части.

1. а) \(19^2=361\), значит \(\sqrt{361}=19\).
2. б) \(7^3=343\), значит \(\sqrt[3]{343}=7\).
3. в) \(\left(\frac12\right)^6=\frac1{64}\) и \(\frac12\geq0\), значит \(\sqrt[6]{\frac1{64}}=\frac12\).
4. г) \(\left(\frac23\right)^5=\frac{32}{243}\), значит \(\sqrt[5]{\frac{32}{243}}=\frac23\).
5. д) \(1^{10}=1\) и \(1\geq0\), значит \(\sqrt[10]{1}=1\).
6. е) \(0^7=0\), значит \(\sqrt[7]{0}=0\).
7. ж) \((2-\sqrt3)^2=4-4\sqrt3+3=7-4\sqrt3\). Кроме того, \(2-\sqrt3>0\), поскольку \(4>3\). Поэтому \(\sqrt{7-4\sqrt3}=2-\sqrt3\).
8. з) \((\sqrt5-2)^2=5-4\sqrt5+4=9-4\sqrt5\). Поскольку \(5>4\), имеем \(\sqrt5-2>0\). Следовательно, \(\sqrt{9-4\sqrt5}=\sqrt5-2\).

Ответ: все указанные равенства верны.