16. (3 балла) Найдите промежутки возрастания функции f(x)=x³-9x²+ 68.

Решение:

1. Найдем производную функции:

\( f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 9x^2 + 68) = 3x^2 - 18x \)

2. Для нахождения промежутков возрастания приравняем производную к нулю:

\( 3x^2 - 18x = 0 \)

3. Вынесем общий множитель \( 3x \) за скобки:

\( 3x(x - 6) = 0 \)

4. Отсюда получаем два значения \( x \):

\( x_1 = 0 \)

\( x_2 = 6 \)

5. Эти значения разбивают числовую ось на три промежутка: \( (-\infty, 0) \), \( (0, 6) \), \( (6, \infty) \). Определим знак производной на каждом промежутке.
• На \( (-\infty, 0) \), возьмем \( x = -1 \): \( f'(-1) = 3(-1)^2 - 18(-1) = 3 + 18 = 21 > 0 \). Функция возрастает.
• На \( (0, 6) \), возьмем \( x = 1 \): \( f'(1) = 3(1)^2 - 18(1) = 3 - 18 = -15 < 0 \). Функция убывает.
• На \( (6, \infty) \), возьмем \( x = 7 \): \( f'(7) = 3(7)^2 - 18(7) = 3(49) - 126 = 147 - 126 = 21 > 0 \). Функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках \( (-\infty, 0] \) и \( [6, \infty) \).