21. (3 балла) Две бригады, состоящие из рабочих одинаковой квалификации, одновременно начали строить два одинаковых дома. В первой бригаде было 16 рабочих, а во второй - 25 рабочих. Через 7 дней после начала работы в первую бригаду перешли 8 рабочих из второй бригады, в результате чего оба дома были построены одновременно. Сколько дней потребовалось бригадам, чтобы закончить работу в новом составе?

Решение:

1. Пусть \( A \) — общий объем работы по постройке одного дома (в условных единицах).
2. Пусть \( x \) — производительность одного рабочего за один день (одинаковая для всех).
3. За первые 7 дней первая бригада (16 рабочих) выполнила \( 16x \times 7 = 112x \) работы.
4. За первые 7 дней вторая бригада (25 рабочих) выполнила \( 25x \times 7 = 175x \) работы.
5. Общий объем работы по двум домам равен \( 2A \).
6. Общий объем работы, выполненный за первые 7 дней: \( 112x + 175x = 287x \).
7. Объем работы, оставшийся после 7 дней: \( 2A - 287x \).
8. После 7 дней состав бригад изменился:
• В первой бригаде стало \( 16 + 8 = 24 \) рабочих.
• Во второй бригаде стало \( 25 - 8 = 17 \) рабочих.
9. Общая производительность бригад в новом составе: \( (24 + 17)x = 41x \) работы в день.
10. Пусть \( y \) — количество дней, которое потребовалось бригадам, чтобы закончить работу в новом составе.
11. Объем работы, выполненный за эти \( y \) дней: \( 41x \times y \).
12. Этот объем равен оставшемуся объему работы: \( 41xy = 2A - 287x \).
13. Также, мы знаем, что общий объем работы по одному дому \( A \) можно выразить через начальный состав бригад. Предположим, что работа над обоими домами началась одновременно и закончилась одновременно.
14. Пусть \( T \) — общее время работы над домами. Тогда \( T = 7 + y \).
15. Объем работы, выполненный первой бригадой за все время: \( 16x \times 7 + 24x \times y = 112x + 24xy \). Этот объем равен \( A \).
16. Объем работы, выполненный второй бригадой за все время: \( 25x \times 7 + 17x \times y = 175x + 17xy \). Этот объем также равен \( A \).
17. Приравниваем объемы работы первой и второй бригады:

\( 112x + 24xy = 175x + 17xy \)

18. Сокращаем \( x \) (предполагая \( x \neq 0 \), так как производительность не равна нулю):

\( 112 + 24y = 175 + 17y \)

19. Решаем относительно \( y \):

\( 24y - 17y = 175 - 112 \)

\( 7y = 63 \)

\( y = \frac{63}{7} \)

\( y = 9 \) дней.

20. Таким образом, бригады работали в новом составе 9 дней.
21. Общее время работы над домами \( T = 7 + y = 7 + 9 = 16 \) дней.

Ответ: 9 дней.