16. (3 балла) Решите уравнение. \(\sin^2x + 3cosx-3=0\)

Решение:

1. Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2x = 1 - \cos^2x\) для замены \(\sin^2x\) в уравнении:

\( (1 - \cos^2x) + 3\cos x - 3 = 0 \)

2. Приведём уравнение к виду квадратного относительно \(\cos x\):

\( 1 - \cos^2x + 3\cos x - 3 = 0 \)

\( -\cos^2x + 3\cos x - 2 = 0 \)

Умножим обе части на -1:

\( \cos^2x - 3\cos x + 2 = 0 \)

3. Сделаем замену переменной: пусть \( y = \cos x \). Тогда уравнение примет вид:

\( y^2 - 3y + 2 = 0 \)

4. Решим квадратное уравнение относительно \( y \). По теореме Виета:

\( y_1 + y_2 = 3 \)

\( y_1 \cdot y_2 = 2 \)

Подбором находим корни: \( y_1 = 1 \) и \( y_2 = 2 \).

5. Вернёмся к замене \( y = \cos x \):

\( \cos x = 1 \) или \( \cos x = 2 \).

6. Решим каждое из полученных уравнений:
• \( \cos x = 1 \)

Это частный случай. Решение: \( x = 2\pi n \), где \( n \) — целое число.

• \( \cos x = 2 \)

Это уравнение не имеет решений, так как значение косинуса не может быть больше 1 или меньше -1 (\(-1 \le \cos x \le 1 \)).

Ответ: \( x = 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).