17. (3 балла) При помощи производной исследуйте функцию \( y=3x²-х³ \) на промежутки возрастания, убывания и точки экстремума

Исследование функции \( y=3x^2-x^3 \)

1. Найдём область определения функции.

Функция является многочленом, поэтому область определения — вся числовая прямая: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).

2. Найдём производную функции.

\( y' = (3x^2 - x^3)' = 6x - 3x^2 \).

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю.

\( 6x - 3x^2 = 0 \)

\( 3x(2 - x) = 0 \)

Критические точки: \( x=0 \) и \( x=2 \).

4. Определим промежутки возрастания и убывания функции.

Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: \( (-\infty; 0) \), \( (0; 2) \), \( (2; +\infty) \).

Исследуем знак производной на каждом интервале:

• На интервале \( (-\infty; 0) \) (например, при \( x = -1 \)): \( y'(-1) = 6(-1) - 3(-1)^2 = -6 - 3 = -9 < 0 \). Функция убывает.
• На интервале \( (0; 2) \) (например, при \( x = 1 \)): \( y'(1) = 6(1) - 3(1)^2 = 6 - 3 = 3 > 0 \). Функция возрастает.
• На интервале \( (2; +\infty) \) (например, при \( x = 3 \)): \( y'(3) = 6(3) - 3(3)^2 = 18 - 27 = -9 < 0 \). Функция убывает.
5. Определим точки экстремума.

В точке \( x = 0 \) производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума.

\( y_{min} = y(0) = 3(0)^2 - (0)^3 = 0 \).

В точке \( x = 2 \) производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка максимума.

\( y_{max} = y(2) = 3(2)^2 - (2)^3 = 3(4) - 8 = 12 - 8 = 4 \).

Ответ:

• Промежутки убывания: \( (-\infty; 0] \) и \( [2; +\infty) \).
• Промежутки возрастания: \( [0; 2] \).
• Точка минимума: \( (0; 0) \).
• Точка максимума: \( (2; 4) \).