16.5 В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что АВ = ВС, AD = CD, ∠B = 55°, ∠D=117°. Найдите угол А.

Решение:

Четырёхугольник ABCD является ромбом, так как у него диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.

Нет, это не ромб, а дельтоид.

Так как \( AB = BC \) и \( AD = CD \), то четырёхугольник ABCD является дельтоидом.

В дельтоиде противолежащие углы, образованные равными сторонами, равны. То есть \( \angle B = \angle D \). Но это не так, \( 55^{\circ} \neq 117^{\circ} \).

В дельтоиде диагональ AC является осью симметрии, поэтому \( \angle BAC = \angle DAC \) и \( \angle BCA = \angle DCA \).

Также диагонали перпендикулярны. \( AC \perp BD \).

Сумма углов четырёхугольника равна 360°:

\( \angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^{\circ} \)

\( \angle A + 55^{\circ} + \angle C + 117^{\circ} = 360^{\circ} \)

\( \angle A + \angle C = 360^{\circ} - 55^{\circ} - 117^{\circ} = 360^{\circ} - 172^{\circ} = 188^{\circ} \).

Рассмотрим \( \triangle ABC \). Он равнобедренный, так как \( AB=BC \).

\( \angle BAC = \angle BCA = \frac{180^{\circ} - 55^{\circ}}{2} = \frac{125^{\circ}}{2} = 62.5^{\circ} \).

Рассмотрим \( \triangle ADC \). Он равнобедренный, так как \( AD=CD \).

\( \angle DAC = \angle DCA = \frac{180^{\circ} - 117^{\circ}}{2} = \frac{63^{\circ}}{2} = 31.5^{\circ} \).

\( \angle A = \angle BAC + \angle DAC = 62.5^{\circ} + 31.5^{\circ} = 94^{\circ} \).

\( \angle C = \angle BCA + \angle DCA = 62.5^{\circ} + 31.5^{\circ} = 94^{\circ} \).

Проверка: \( \angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 94^{\circ} + 55^{\circ} + 94^{\circ} + 117^{\circ} = 360^{\circ} \).

Ответ: 94°.