16. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность (см. рис. 156). Прямые АВ и CD пересекаются в точке F, BF = 4, DF = 16, ВС = 7. Найдите AD.

Решение:

Рассмотрим подобные треугольники \( \triangle FBC \) и \( \triangle FDA \).

У них \( \angle F \) — общий.

Так как четырёхугольник \( ABCD \) вписан в окружность, то \( \angle FBC = \angle FDA \) (как внешние углы при продолжении сторон вписанного четырёхугольника).

Следовательно, \( \triangle FBC \sim \triangle FDA \) по двум углам.

Из подобия следует пропорция:

\( \frac{FB}{FD} = \frac{FC}{FA} = \frac{BC}{DA} \)

Нам известно:

• \( FB = 4 \)
• \( DF = 16 \)
• \( BC = 7 \)

Нам нужно найти \( AD \).

Из пропорции имеем:

\( \frac{FB}{FD} = \frac{BC}{DA} \)

\( \frac{4}{16} = \frac{7}{DA} \)

\( \frac{1}{4} = \frac{7}{DA} \)

\( DA = 4 \cdot 7 \)

\( DA = 28 \)

Ответ: 28