17. В треугольнике АВС отрезок DE — средняя линия (см. рис. 157 Площадь треугольника CDE равна 53. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение:

По условию \( DE \) — средняя линия треугольника \( ABC \).

Это означает, что \( DE \parallel AC \) и \( DE = \frac{1}{2} AC \).

Треугольник \( CDE \) подобен треугольнику \( CAB \) (по двум углам: \( \angle C \) — общий, \( \angle CED = \angle CAB \) как соответственные при \( DE \parallel AC \) и секущей \( AB \)).

Коэффициент подобия \( k = \frac{DE}{AC} = \frac{1}{2} \).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

\( \frac{S_{CDE}}{S_{CAB}} = k^2 \)

\( \frac{S_{CDE}}{S_{CAB}} = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} \)

Нам дана площадь \( S_{CDE} = 53 \).

\( \frac{53}{S_{CAB}} = \frac{1}{4} \)

\( S_{CAB} = 53 \cdot 4 \)

\( S_{CAB} = 212 \)

Ответ: 212