16. Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AB = 25 и DC = 10. Биссектриса угла D пересекает сторону AB в точке K, причем DK ∥ CB. Найдите периметр трапеции.

Поскольку \(DK\parallel CB\), а \(AB\parallel DC\), четырёхугольник DCBK — параллелограмм. Поэтому \(BK=DC=10\) и \(DK=CB\).

Точка K лежит на AB, значит \(AK=AB-BK=25-10=15\). Угол между DK и DC равен углу между CB и BA; поскольку трапеция равнобедренная, углы при основании AB равны, следовательно, \(\angle KDC=\angle DAB\). Кроме того, DK — биссектриса угла D, так что \(\angle KDC=\angle BDK\). Из параллельности DK и CB следует, что \(\angle BDK=\angle DAB\); получаем, что в треугольнике ADK углы при A и D равны, поэтому \(AK=DK=15\).

Тогда \(CB=DK=15\), а боковые стороны равнобедренной трапеции равны: \(AD=BC=15\). Периметр \(P=25+10+15+15=65\).

Ответ: 65.