17. Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагональ AC является биссектрисой угла A, AB = 15, ∠D = 60°. Найдите периметр трапеции.

В равнобедренной трапеции углы при основании AD равны, поэтому \(\angle A=\angle D=60^\circ\). Диагональ AC биссектрисса угла A, значит \(\angle CAD=30^\circ\), а \(\angle BAC=30^\circ\).

Рассмотрим треугольник ABC. Поскольку \(BC\parallel AD\), угол между AC и BC равен \(\angle CAD=30^\circ\), то есть \(\angle ACB=30^\circ\). Следовательно, \(\angle ABC=120^\circ\), и по теореме синусов в треугольнике ABC стороны, лежащие напротив равных углов 30°, равны: \(AB=BC=15\).

Горизонтальная проекция боковой стороны AB на основание равна \(15\cos60^\circ=7.5\). Поэтому \(AD-BC=2\cdot7.5=15\), откуда \(AD=30\). Боковые стороны равны 15.

Периметр: \(P=AD+BC+AB+CD=30+15+15+15=75\).

Ответ: 75.