16. Диагональ АС ромба ABCD равна 12, а \(tg\angle BCA = \frac{4}{3}\). Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Краткая запись:

• Дано: Ромб ABCD. Диагональ AC = 12. \(tg\angle BCA = \frac{4}{3}\).
• Найти: Радиус вписанной окружности (r) — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. \( riangle BOC\) — прямоугольный, где O — точка пересечения диагоналей. \(OC = AC/2 = 12/2 = 6\).
2. Шаг 2: В \( riangle BOC\), \(tg\angle BCA = \frac{OB}{OC}\).
   \(\frac{4}{3} = \frac{OB}{6}\)
   \(OB = \frac{4}{3} \cdot 6 = 8\).
3. Шаг 3: Длина второй диагонали BD = 2 * OB = 2 * 8 = 16.
4. Шаг 4: Площадь ромба S = \(\frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96\).
5. Шаг 5: Сторона ромба AB (по теореме Пифагора в \( riangle BOC\)):
   \(AB^2 = OB^2 + OC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100\).
   \(AB = \sqrt{100} = 10\).
6. Шаг 6: Высота ромба (h) равна площади, деленной на сторону:
   \(h = \frac{S}{AB} = \frac{96}{10} = 9.6\).
7. Шаг 7: Радиус вписанной окружности равен половине высоты:
   \(r = \frac{h}{2} = \frac{9.6}{2} = 4.8\).

Ответ: 4.8