16. Диагональ АС ромба ABCD равна 16, а tg BCA = 0,75. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Краткое пояснение:

Для нахождения радиуса вписанной окружности ромба, нужно сначала определить его высоту. Радиус вписанной окружности равен половине высоты ромба. Высоту ромба можно найти, используя свойство диагоналей и тригонометрию.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам. Пусть точка пересечения диагоналей — O. Тогда AO = OC = 16/2 = 8.
2. Шаг 2: В прямоугольном треугольнике BOC, \( \text{tg } \angle BCA = \frac{BO}{OC} \).
   \( 0.75 = \frac{BO}{8} \)
   \( BO = 0.75 \cdot 8 = 6 \)
3. Шаг 3: Найдем сторону ромба BC по теореме Пифагора в треугольнике BOC:
   \( BC^2 = BO^2 + OC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \)
   \( BC = \sqrt{100} = 10 \)
4. Шаг 4: Площадь ромба можно найти двумя способами:
   $$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot (2  6) = \frac{1}{2}  16  12 = 96$$
   $$S = a  h$$, где h — высота ромба.
5. Шаг 5: Найдем высоту ромба:
   \( h = \frac{S}{a} = \frac{96}{10} = 9.6 \)
6. Шаг 6: Радиус вписанной окружности равен половине высоты ромба:
   \( r = \frac{h}{2} = \frac{9.6}{2} = 4.8 \)

Ответ: 4.8