16. Касательные в точках А и В к окружности с центром в точке О пересекаются под углом 38°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Рассмотрим четырехугольник АОВС, где АС и ВС — касательные к окружности в точках А и В соответственно, а О — центр окружности.

• Угол между касательными ∠AСB = 38°.
• Радиусы OA и OB перпендикулярны касательным в точках касания, поэтому ∠OAC = 90° и ∠OBC = 90°.
• Сумма углов в четырехугольнике равна 360°.

Найдем угол ∠AOB:

• ∠AOB + ∠OAC + ∠ACB + ∠OBC = 360°
• ∠AOB + 90° + 38° + 90° = 360°
• ∠AOB + 218° = 360°
• ∠AOB = 360° - 218° = 142°

Теперь рассмотрим треугольник АОВ. OA и OB — радиусы окружности, поэтому треугольник АОВ — равнобедренный ($$OA = OB$$).

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов в треугольнике равна 180°.

• ∠OAB + ∠OBA + ∠AOB = 180°
• 2 ⋅ ∠ABO + 142° = 180° (так как ∠OAB = ∠OBA)
• 2 ⋅ ∠ABO = 180° - 142°
• 2 ⋅ ∠ABO = 38°
• ∠ABO = 38° / 2
• ∠ABO = 19°