16 Касательные в точках А и В к окружности с центром в точке О пересекаются под углом 68°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Задание 16. Угол между касательными и радиусами

Дано:

• Окружность с центром О.
• Касательные в точках А и В пересекаются под углом 68°.

Найти: угол АВО.

Решение:

1. Соединим точки О, А и В. Так как АО и ВО — радиусы окружности, а АС и ВС — касательные, то треугольник АВО — равнобедренный (ОА = ОВ).
2. Угол между касательными АС и ВС равен 68°, то есть

   \[ \angle ACB = 68^\circ \]

   (предполагается, что точка пересечения касательных — это С, хотя в условии это не указано явно, но подразумевается по стандартным задачам такого типа. Если точка пересечения — другая, то угол будет не

   \[ \angle ACB \]

   ).
3. Рассмотрим четырехугольник ОАСВ. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. Углы ОАС и ОВС — прямые (90°), так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.
4. Следовательно,

   \[ \angle AOB + \angle OAC + \angle ACB + \angle OBC = 360^\circ \]

   \[ \angle AOB + 90^\circ + 68^\circ + 90^\circ = 360^\circ \]

   \[ \angle AOB + 248^\circ = 360^\circ \]

   \[ \angle AOB = 360^\circ - 248^\circ = 112^\circ \]

5. Теперь рассмотрим равнобедренный треугольник АВО (ОА = ОВ — радиусы). Сумма углов в треугольнике равна 180°.

6. \[ \angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^\circ \]

   \[ \angle OAB + \angle OBA + 112^\circ = 180^\circ \]

   \[ \angle OAB + \angle OBA = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ \]

7. Так как треугольник АВО равнобедренный, то

   \[ \angle OAB = \angle OBA \]

8. Следовательно,

   \[ 2 \cdot \angle OBA = 68^\circ \]

   \[ \angle OBA = \frac{68^\circ}{2} = 34^\circ \]

Примечание: в изображении к задаче присутствует расчет

\[ \frac{180 - 58}{2} = 56 \]

. Это соответствует другому условию, где угол между касательными равен 58°. В данном решении используется условие 68°.

Ответ: 34°