16 Касательные в точках А и В к окружности с центром в точке О пересекаются под углом 72°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть точки пересечения касательных будут T. Тогда \( \text{угол} ATO = 72^\text{о} \).

Рассмотрим треугольник \( \triangle ATO \). \( OA \) — радиус, проведенный в точку касания, поэтому \( \text{угол} OAT = 90^\text{о} \).

Сумма углов в \( \triangle ATO \) равна \( 180^\text{о} \), следовательно:

\( \text{угол} AOT = 180^\text{о} - 90^\text{о} - 72^\text{о} = 18^\text{о} \).

Аналогично, в треугольнике \( \triangle BTO \), \( \text{угол} OBT = 90^\text{о} \) и \( \text{угол} BTO = 72^\text{о} \).

\( \text{угол} BOT = 180^\text{о} - 90^\text{о} - 72^\text{о} = 18^\text{о} \).

Угол \( AOB \) равен сумме углов \( \text{угол} AOT + \text{угол} BOT = 18^\text{о} + 18^\text{о} = 36^\text{о} \).

Теперь рассмотрим треугольник \( \triangle ABO \). \( OA \) и \( OB \) — радиусы окружности, поэтому \( \triangle ABO \) — равнобедренный.

Сумма углов в \( \triangle ABO \) равна \( 180^\text{о} \).

\( \text{угол} OAB = \text{угол} OBA = \frac{180^\text{о} - \text{угол} AOB}{2} \)

\( \text{угол} OBA = \frac{180^\text{о} - 36^\text{о}}{2} = \frac{144^\text{о}}{2} = 72^\text{о} \).

Ответ: 72