16. На какой одночлен нужно заменить, чтобы равенство (a + *)² = a² + 4ab² + 4b⁴ стало тождеством? 1) 2b 2) -2b 3) 4b 4) такого одночлена не существует

Решение:

Рассмотрим левую часть равенства: \( (a + *)² \). Это квадрат суммы. По формуле квадрата суммы, \( (a + b)² = a² + 2ab + b² \).

Правая часть равенства: \( a² + 4ab² + 4b⁴ \).

Сравним правую часть с формулой квадрата суммы:

\( a² \) соответствует \( a² \).

\( 4b⁴ \) должно соответствовать \( b² \) в формуле. Следовательно, \( b² = 4b⁴ \). Это не так.

Перепишем правую часть, предполагая, что \( 4b⁴ \) это квадрат второго члена:

\( a² + 4ab² + 4b⁴ = a² + 2 + a + (2b²) + (2b²)² \)

В этом случае, второй член в выражении \( (a + *)² \) должен быть \( 2b² \).

Проверим:

\( (a + 2b²)² = a² + 2 + a + (2b²) + (2b²)² = a² + 4ab² + 4b⁴ \).

Это тождество соответствует правой части.

Таким образом, одночлен, которым нужно заменить *, это \( 2b² \).

Среди предложенных вариантов ответа нет \( 2b² \). Варианты содержат \( b \) в первой степени.

Проверим, если бы второй член был \( 2b \):

\( (a + 2b)² = a² + 2 + a + (2b) + (2b)² = a² + 4ab + 4b² \). Это не соответствует правой части.

Проверим, если бы второй член был \( -2b \):

\( (a - 2b)² = a² - 2 + a + (2b) + (2b)² = a² - 4ab + 4b² \). Это не соответствует правой части.

Проверим, если бы второй член был \( 4b \):

\( (a + 4b)² = a² + 2 + a + (4b) + (4b)² = a² + 8ab + 16b² \). Это не соответствует правой части.

Следовательно, такого одночлена среди предложенных вариантов не существует.

Ответ: 4