16. Найдите угол при большем основании равнобокой трапеции, в которой боковая сторона равна меньшему основанию трапеции и перпендикулярна её диагонали.

Обозначим трапецию \(ABCD\), где \(AD\) — большее основание, \(BC\) — меньшее, а \(AB=BC=CD\). По рисунку диагональ \(BD\) перпендикулярна боковой стороне \(AB\). Пусть \(\angle A=\angle D=\alpha\); эти углы равны, так как трапеция равнобокая.

В треугольнике \(ABD\) угол при \(B\) прямой, поэтому \(\angle ADB=90°-\alpha\). В треугольнике \(BCD\) равны стороны \(BC\) и \(CD\), значит, углы при основании \(BD\) равны. Угол \(BCD=180°-2\alpha\), следовательно, \(\angle BDC=\alpha\).

Тогда угол трапеции при \(D\) равен \(\angle ADB+\angle BDC=(90°-\alpha)+\alpha=90°\). Значит, \(\alpha=90°\). Но при \(\alpha=90°\) нижнее основание также перпендикулярно боковой стороне, и из данных равенств фигура вырождается: основания должны иметь одинаковую длину. Это противоречит тому, что одно основание меньше другого.

Следовательно, условие в таком прочтении несовместимо: невырожденной равнобокой трапеции с указанными свойствами не существует. На рисунке отметки равенства стоят на обеих боковых сторонах и меньшем основании, что приводит именно к этому противоречию.