16. Найдите значение выражения \( \sqrt{a^2 + 8ab + 16b^2} \) при \( a = 3 \) и \( b = \frac{1}{7} \).

Решение:

Заметим, что подкоренное выражение является полным квадратом суммы \( (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \). В данном случае \( x = a \) и \( y = 4b \), так как \( a^2 + 2 \cdot a \cdot (4b) + (4b)^2 = a^2 + 8ab + 16b^2 \).

Таким образом, выражение можно упростить:

\( \sqrt{a^2 + 8ab + 16b^2} = \sqrt{(a + 4b)^2} = |a + 4b| \)

Так как \( a = 3 \) и \( b = \frac{1}{7} \), то \( a + 4b = 3 + 4 \cdot \frac{1}{7} = 3 + \frac{4}{7} \).

Это положительное число, поэтому \( |a + 4b| = a + 4b \).

Подставим значения \( a \) и \( b \):

\( 3 + 4 \cdot \frac{1}{7} = 3 + \frac{4}{7} = \frac{21}{7} + \frac{4}{7} = \frac{25}{7} \)

Ответ: \(\frac{25}{7}\)