16. Окружность, круг и их элементы. Блок 2. ФИПИ. Расширенная версия. Примеры прототипов.

1) Окружность. Касательная к окружности

1. Центральный угол АОВ опирается на хорду АВ длиной 5. При этом угол ОАВ равен 60°. Найдите радиус окружности.

Решение:

Центральный угол АОВ и углы ОАВ и ОВА образуют треугольник АОВ. Так как ОА и ОВ — радиусы окружности, то треугольник АОВ — равнобедренный.

Угол ОАВ = 60°.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит, угол ОВА = 60°.

Сумма углов в треугольнике равна 180°. Найдем угол АОВ:

\[ \angle AOB = 180^{\circ} - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 60^{\circ}) = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \]

Так как все углы треугольника АОВ равны 60°, то это равносторонний треугольник.

Следовательно, все стороны треугольника равны, в том числе и радиус окружности.

Ответ: 5

2. Точка О — центр окружности, на которой лежат точки K, L и М таким образом, что OKLM — ромб. Найдите угол OKL. Ответ дайте в градусах.

Решение:

OKLM — ромб. В ромбе все стороны равны. OK, OL, OM — радиусы окружности, поэтому OK = OL = OM.

Поскольку OKLM — ромб, все его стороны равны: OK = KL = LM = MO. Так как OK — радиус, то OK = R. Следовательно, KL = LM = MO = OK = R.

Все стороны ромба равны радиусу окружности. Это означает, что ромб состоит из четырех равносторонних треугольников.

Угол OKL — это один из углов ромба. В ромбе противолежащие углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.

В ромбе OKLM, стороны OK и KL равны, и угол между ними — это угол OKL. Так как OK = KL = R, то треугольник OKL является равнобедренным.

Однако, информация о том, что OKLM — ромб, и точки K, L, M лежат на окружности с центром O, означает, что OK = OL = OM = R. Также, KL = LM = R.

В ромбе OKLM, диагонали делятся пополам и перпендикулярны. Если OKLM — ромб, то OK = KL = LM = MO. Это возможно только если OKLM — квадрат, и его стороны равны радиусу. В этом случае углы ромба будут 90°.

Рассмотрим треугольник OKL. OK = OL = R (радиусы). KL = R (сторона ромба). Следовательно, треугольник OKL равносторонний. Угол OKL в равностороннем треугольнике равен 60°.

Ответ: 60

3. Длина хорды окружности равна 8. Расстояние от центра окружности до этой хорды равно 9. Найдите диаметр окружности.

Решение:

Пусть дана окружность с центром O. Хорда AB имеет длину 8. Расстояние от центра O до хорды AB (перпендикуляр OM) равно 9. При проведении перпендикуляра из центра к хорде, он делит хорду пополам. Таким образом, AM = MB = 8/2 = 4.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OMA. По теореме Пифагора:

\[ OA^2 = OM^2 + AM^2 \]\[ OA^2 = 9^2 + 4^2 \]\[ OA^2 = 81 + 16 \]\[ OA^2 = 97 \]\[ OA = \sqrt{97} \]

OA — это радиус окружности. Диаметр окружности равен удвоенному радиусу.

\[ D = 2 \cdot OA = 2 \sqrt{97} \]

Ответ: 2√97

4. Радиус окружности с центром в точке O равен 29, длина хорды АВ равна 42. Найдите расстояние от хорды АВ до параллельной ей касательной k.

Решение:

Пусть O — центр окружности, R = 29. Хорда AB = 42. Проведем перпендикуляр OM из центра O к хорде AB. Он делит хорду пополам: AM = MB = 42/2 = 21.

В прямоугольном треугольнике OMA, по теореме Пифагора:

\[ OA^2 = OM^2 + AM^2 \]\[ 29^2 = OM^2 + 21^2 \]\[ 841 = OM^2 + 441 \]\[ OM^2 = 841 - 441 \]\[ OM^2 = 400 \]\[ OM = \sqrt{400} = 20 \]

Расстояние от хорды AB до касательной k может быть двух видов: если касательная находится с той же стороны от центра, что и хорда, то расстояние равно R - OM. Если касательная находится с противоположной стороны, то расстояние равно R + OM.

В условии не указано, с какой стороны находится касательная. Будем считать, что она находится с той стороны, где расстояние минимально.

Расстояние от хорды AB до касательной k равно расстоянию от хорды до точки касания. Пусть точка касания — T. Расстояние от центра до касательной равно радиусу.

Возможны два случая:

1. Касательная k находится по ту же сторону от центра, что и хорда AB. Тогда расстояние от хорды до касательной равно R - OM = 29 - 20 = 9.

2. Касательная k находится по другую сторону от центра, чем хорда AB. Тогда расстояние от хорды до касательной равно R + OM = 29 + 20 = 49.

В задачах, где не уточнено, обычно подразумевается меньшее расстояние, если не указано иное. Однако, без уточнения, оба ответа возможны. Предполагая, что касательная параллельна хорде, и находится на таком же расстоянии от центра, как и хорда, но с другой стороны.

Если касательная k параллельна хорде AB, то расстояние от хорды до касательной будет равно радиусу плюс расстояние от центра до хорды, если хорда и касательная находятся по разные стороны от центра, или радиусу минус расстояние от центра до хорды, если они по одну сторону.

Расстояние от хорды АВ до центра равно 20.

Касательная k параллельна хорде АВ. Есть две такие касательные. Одна находится на расстоянии R от центра, другая — также на расстоянии R от центра.

Если касательная находится с той же стороны, что и хорда, то расстояние от хорды до касательной = R - OM = 29 - 20 = 9.

Если касательная находится с противоположной стороны от хорды, то расстояние от хорды до касательной = R + OM = 29 + 20 = 49.

Так как в условии не указано, какое именно расстояние имеется в виду, и чертеж также не представлен, то оба варианта являются корректными. Чаще всего в таких задачах подразумевается одно из двух:

1) касательная находится с той же стороны от центра, что и хорда. Тогда расстояние будет R - OM.

2) касательная находится с противоположной стороны от центра, чем хорда. Тогда расстояние будет R + OM.

В данной задаче, если касательная k находится