4. Радиус окружности с центром в точке О равен 29, длина хорды АВ равна 42. Найдите расстояние от хорды АВ до параллельной ей касательной k.

Решение:

• Радиус окружности R = 29.
• Длина хорды AB = 42.
• Пусть OH — перпендикуляр из центра O к хорде AB. OH делит хорду пополам.
• AH = HB = 42 / 2 = 21.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник OHA. По теореме Пифагора:
• OA² = OH² + AH²
• 29² = OH² + 21²
• 841 = OH² + 441
• OH² = 841 - 441 = 400
• OH = √400 = 20.
• Это расстояние от центра до хорды.
• Касательная k параллельна хорде AB.
• Расстояние от центра O до касательной k равно радиусу, то есть 29.
• Это расстояние измеряется по перпендикуляру, который пройдет через точку касания.
• Так как касательная k параллельна хорде AB, то перпендикуляр, проведенный из центра O к хорде AB, также будет перпендикулярен касательной.
• Расстояние от хорды AB до касательной k равно разности между расстоянием от центра до касательной и расстоянием от центра до хорды (вдоль одного радиуса, перпендикулярного хорде и касательной).
• Расстояние = R - OH = 29 - 20 = 9.
• (Если бы касательная была с другой стороны от центра, то расстояние было бы R + OH = 29 + 20 = 49. Но на рисунке касательная находится с той же стороны, что и хорда относительно центра, поэтому вычитаем).

Ответ: 9