16. Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 59°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Угол \( ACB \) является вписанным углом, опирающимся на дугу \( AB \). Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, равен удвоенному вписанному углу.

1. Центральный угол, опирающийся на дугу \( AB \), равен \( \angle AOB \).
2. \( \angle AOB = 2 \cdot \angle ACB = 2 \cdot 59^{\circ} = 118^{\circ} \).
3. Углы \( AOB \) и \( AOD \) являются смежными, если точки C и D находятся на одной прямой, проходящей через O. Но AC и BD — диаметры, поэтому они пересекаются в центре O. Углы \( AOD \) и \( BOC \) — вертикальные, а \( AOB \) и \( COD \) — вертикальные.
4. Также \( \angle AOD \) и \( \angle BOC \) — вертикальные углы.
5. \( \angle AOD + \angle AOB = 180^{\circ} \) (развёрнутый угол, если A, O, C лежат на одной прямой, и B, O, D лежат на одной прямой).
6. \( \angle AOD = 180^{\circ} - \angle AOB = 180^{\circ} - 118^{\circ} = 62^{\circ} \).

Ответ: 62.