16. Постройте график функции $y=\dfrac{x^4-13x^2+36}{(x-3)(x+2)}$ и определите, при каких значениях параметра $c$ прямая $y=c$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Question

Вопрос: $Фото задания: 16. Постройте график функции $y=\dfrac{x^4-13x^2+36}{(x-3)(x+2)}$ и определите, при каких значениях параметра $c$…$ Фото задания

16. Постройте график функции $y=\dfrac{x^4-13x^2+36}{(x-3)(x+2)}$ и определите, при каких значениях параметра $c$ прямая $y=c$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Accepted Answer

Разложим числитель на множители:

$x^4-13x^2+36=(x^2-9)(x^2-4)=(x-3)(x+3)(x-2)(x+2)$.

Сокращая общие множители, получаем $y=(x+3)(x-2)=x^2+x-6$, но исходная функция определена только при $x\ne3$ и $x\ne-2$. Поэтому её график — парабола $y=x^2+x-6$ с выколотыми точками $(3;6)$ и $(-2;-4)$.

Пересечения с прямой $y=c$ задаются уравнением $x^2+x-6=c$, то есть $x^2+x-(6+c)=0$. Дискриминант равен $D=25+4c$.

При $c=-\dfrac{25}{4}$ уравнение имеет один корень, поэтому есть ровно одна общая точка.
При $D>0$ обычно имеются две точки. Если $c=6$, один корень равен $3$ и исключён из области определения, остаётся одна точка. Если $c=-4$, один корень равен $-2$ и исключён, также остаётся одна точка.

Ответ: $c\in\left\{-\dfrac{25}{4},-4,6\right\}$.

16. Постройте график функции \(y=\dfrac{x^4-13x^2+36}{(x-3)(x+2)}\) и определите, при каких значениях параметра \(c\) прямая \(y=c\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ: