5. Постройте график функции $y=\dfrac{(x^2-5x+6)(x^2-5x+4)}{x^2-4x+3}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Постройте график функции $y=\dfrac{(x^2-5x+6)(x^2-5x+4)}{x^2-4x+3}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая…$ Фото задания

5. Постройте график функции $y=\dfrac{(x^2-5x+6)(x^2-5x+4)}{x^2-4x+3}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Accepted Answer

Разложим выражения на множители:

$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$, $x^2-5x+4=(x-1)(x-4)$, $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$.

После сокращения получаем $y=(x-2)(x-4)=x^2-6x+8$, при этом область определения исходной функции: $x\ne1,3$. График — парабола с выколотыми точками $(1;3)$ и $(3;-1)$.

Пересечения с прямой $y=m$ определяются уравнением $x^2-6x+8=m$. Его дискриминант $D=4+4m$, поэтому действительные корни существуют при $m\ge-1$.

При $m=-1$ единственный корень — $x=3$, но эта точка исключена; общих точек нет.
При $m>-1$ обычно два пересечения. При $m=3$ корни равны $1$ и $5$; точка с $x=1$ выколота, поэтому остаётся ровно одна общая точка.

Ответ: $m=3$.

5. Постройте график функции \(y=\dfrac{(x^2-5x+6)(x^2-5x+4)}{x^2-4x+3}\) и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ: