7. Постройте график функции \(y=\dfrac{1+2x}{2x^2+x}\) и определите, при каких значениях \(k\) прямая \(y=kx\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Знаменатель раскладывается так: \(2x^2+x=x(2x+1)\). Поэтому \(y=\dfrac{1}{x}\), где исходная функция определена при \(x\ne0\) и \(x\ne-\dfrac12\). График — гипербола \(y=1/x\) с выколотой точкой \((-\dfrac12;-2)\).

Точки пересечения с \(y=kx\) удовлетворяют уравнению \(\dfrac1x=kx\), то есть \(kx^2=1\). При \(k<0\) решений нет, при \(k=0\) решений также нет, а при \(k>0\) получаются два корня \(x=\pm\dfrac1{\sqrt{k}}\). Обычно это две общие точки. При \(k=4\) один корень равен \(-\dfrac12\), соответствующая точка выколота, и остаётся ровно одна общая точка.

Ответ: \(k=4\).