16. Прямая касается окружности в точке К. Точка О — центр окружно- сти. Хорда КМ образует с касательной угол, равный 75°. Найдите величину угла ОМК. Ответ дайте в градусах.

Решение:

По теореме о касательной и хорде, угол между касательной и хордой, проведённой из точки касания, равен половине угловой меры дуги, заключённой между ними. Угол между касательной и хордой \( KM \) равен \( 75^{\circ} \). Следовательно, угловая мера дуги \( KM \) равна \( 2 \cdot 75^{\circ} = 150^{\circ} \).

Угол \( KOM \) — центральный угол, опирающийся на дугу \( KM \). Поэтому \( \angle KOM = 150^{\circ} \).

Треугольник \( OMK \) — равнобедренный, так как \( OM = OK \) (радиусы окружности). Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \).

1. Найдем сумму углов \( OMK \) и \( OKM \): \( \angle OMK + \angle OKM = 180^{\circ} - \angle KOM = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ} \)
2. Так как \( \triangle OMK \) равнобедренный, то \( \angle OMK = \angle OKM \).
3. Найдем \( \angle OMK \): \( \angle OMK = \frac{30^{\circ}}{2} = 15^{\circ} \)

Ответ: 15 градусов.