16. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 4√2. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

Решение:

Пусть \( R \) — радиус описанной окружности, а \( r \) — радиус вписанной окружности. Дан квадрат ABCD.

Радиус описанной окружности \( R \) связан со стороной квадрата \( a \) соотношением \( R = \frac{a\sqrt{2}}{2} \).

Нам дано, что \( R = 4\sqrt{2} \). Подставим это значение:

\( 4\sqrt{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \)

Чтобы найти сторону квадрата \( a \), умножим обе части уравнения на 2 и разделим на \( \sqrt{2} \):

\( a = \frac{4\sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2}} = 8 \)

Сторона квадрата равна 8.

Радиус вписанной окружности \( r \) равен половине стороны квадрата:

\( r = \frac{a}{2} \)

\( r = \frac{8}{2} = 4 \)

Ответ: 4.