16. Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 25√3. Найдите длину стороны этого треугольника.

Решение:

Для равностороннего треугольника радиус вписанной окружности \( r \) и радиус описанной окружности \( R \) связаны со стороной \( a \) следующими формулами:

\( r = \frac{a}{2\sqrt{3}} \) и \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \).

Из условия известно, что \( r = 25\sqrt{3} \).

Подставим это значение в формулу для \( r \):

\( 25\sqrt{3} = \frac{a}{2\sqrt{3}} \)

Чтобы найти \( a \), умножим обе части уравнения на \( 2\sqrt{3} \):

\( a = 25\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} \)

\( a = 25 \cdot 2 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) \)

\( a = 50 \cdot 3 \)

\( a = 150 \)

Ответ: 150