16. Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 5√3. Найдите длину стороны этого треугольника.

Решение:

Для равностороннего треугольника радиус вписанной окружности (r) и радиус описанной окружности (R) связаны с длиной стороны (a) следующими формулами:

\( r = \frac{a}{2\sqrt{3}} \)

Нам дан радиус вписанной окружности \( r = 5\sqrt{3} \).

Подставим значение r в формулу и найдём длину стороны a:

\[ 5\sqrt{3} = \frac{a}{2\sqrt{3}} \]

Умножим обе части уравнения на \( 2\sqrt{3} \):

\[ a = 5\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 10 \cdot (\sqrt{3})^2 = 10 \cdot 3 = 30 \]

Ответ: 30.