16. Решите систему уравнений: 2) $\begin{cases}x^2+2y^2=17,\\x^2-2xy=-3.\end{cases}$

Question

Вопрос: $Фото задания: 16. Решите систему уравнений: 2) $\begin{cases}x^2+2y^2=17,\\x^2-2xy=-3.\end{cases}$$ Фото задания

Accepted Answer

Обозначим $u=x^2$, $v=xy$, $w=y^2$. Тогда:

\[u+2w=17,\qquad u-2v=-3.\]

Следовательно, $v=\dfrac{u+3}{2}$, $w=\dfrac{17-u}{2}$. Используем равенство $v^2=uw$:

\[\left(\frac{u+3}{2}\right)^2=u\frac{17-u}{2}.\]

После упрощения: $3u^2-28u+9=0$, откуда $u=9$ или $u=\dfrac13$.

При $u=9$: $x=\pm3$, $y=\pm2$ с одинаковыми знаками.

При $u=\dfrac13$: $x=\pm\dfrac1{\sqrt3}$, $y=\pm\dfrac5{\sqrt3}$ с одинаковыми знаками.

Ответ: $(3,2),\;(-3,-2),\;(\frac1{\sqrt3},\frac5{\sqrt3}),\;(-\frac1{\sqrt3},-\frac5{\sqrt3})$.

16. Решите систему уравнений: 2) \(\begin{cases}x^2+2y^2=17,\\x^2-2xy=-3.\end{cases}\)