16. Точка О — центр окружности, на которой лежат точки А, В и С. Известно, что ∠ABC=107° и ∠OAB=64°. Найдите угол ВСО. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. \( \angle ABC = 107^{\circ} \) — вписанный угол. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу (дугу AC), равен \( 2 · \angle ABC \) или \( 360^{\circ} - 2 · \angle ABC \).

Однако, \( \angle ABC \) — тупой, значит, он опирается на большую дугу AC. Центральный угол \( \angle AOC \) опирается на меньшую дугу AC.

Центральный угол, опирающийся на дугу AC, равен \( \angle AOC = 2 · (180^{\circ} - 107^{\circ}) = 2 · 73^{\circ} = 146^{\circ} \) (если бы \( \angle ABC \) был острым, опирался бы на ту же дугу, что и \( \angle AOC \)).

Более простой подход:

Рассмотрим треугольник \( \triangle OAB \). \( OA = OB \) (радиусы), значит, \( \triangle OAB \) — равнобедренный. \( \angle OBA = \angle OAB = 64^{\circ} \).

\( \angle AOB = 180^{\circ} - (64^{\circ} + 64^{\circ}) = 180^{\circ} - 128^{\circ} = 52^{\circ} \).

Угол \( \angle ABC = 107^{\circ} \). Мы знаем \( \angle OBA = 64^{\circ} \). Значит, \( \angle OBC = \angle ABC - \angle OBA = 107^{\circ} - 64^{\circ} = 43^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник \( \triangle OBC \). \( OB = OC \) (радиусы), значит, \( \triangle OBC \) — равнобедренный.

Угол при вершине \( \angle BOC = 180^{\circ} - \angle AOB - \angle AOC \) (если бы A, O, C были collinear). Это неверно.

В равнобедренном \( \triangle OBC \) углы при основании \( OB \) и \( OC \) равны: \( \angle OCB = \angle OBC = 43^{\circ} \).

Ответ: 43.