16. Точки А, В, С и Д лежат на одной окружности так, что хорды АВ и CD взаимно перпендикулярны, а ∠ABD = 43° (см. рис. 238). Найдите величину угла САВ. Ответ дайте в градусах.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Угол ∠ABD является вписанным и опирается на дугу AD. Следовательно, величина дуги AD равна $$2 \times \text{∠}ABD = 2 \times 43^\text{o} = 86^\text{o}$$.
2. Шаг 2: Угол ∠ACD также является вписанным и опирается на дугу AD. Поэтому ∠ACD = ∠ABD = 43°.
3. Шаг 3: Хорды AB и CD перпендикулярны. Пусть точка их пересечения будет O.
4. Шаг 4: В прямоугольном треугольнике AOC (или BOC, или AOD, или BOD, в зависимости от того, где точка пересечения) сумма острых углов равна 90°.
5. Шаг 5: Угол ∠CAD вписанный и опирается на дугу CD.
6. Шаг 6: Угол ∠CBD вписанный и опирается на дугу CD. Таким образом, ∠CAD = ∠CBD.
7. Шаг 7: Угол ∠BCA вписанный и опирается на дугу AB.
8. Шаг 8: Угол ∠BDA вписанный и опирается на дугу AB. Таким образом, ∠BCA = ∠BDA.
9. Шаг 9: Рассмотрим вписанный угол ∠CAD. Он опирается на дугу CD.
10. Шаг 10: Угол ∠CBD вписанный и опирается на дугу CD. Следовательно, ∠CAD = ∠CBD.
11. Шаг 11: Рассмотрим треугольник, образованный точками A, B и точкой пересечения хорд.
12. Шаг 12: Угол ∠CAB опирается на дугу CB.
13. Шаг 13: Угол ∠CDB опирается на дугу CB. Следовательно, ∠CAB = ∠CDB.
14. Шаг 14: В прямоугольном треугольнике, образованном пересечением хорд (например, в треугольнике, где один угол 90°), мы можем найти другие углы.
15. Шаг 15: Рассмотрим вписанный угол ∠CAD. Он опирается на дугу CD.
16. Шаг 16: Рассмотрим вписанный угол ∠CBD. Он опирается на дугу CD. Следовательно, ∠CAD = ∠CBD.
17. Шаг 17: Рассмотрим вписанный угол ∠CDB. Он опирается на дугу CB.
18. Шаг 18: Угол ∠CAB опирается на дугу CB. Значит, ∠CAB = ∠CDB.
19. Шаг 19: Рассмотрим вписанный угол ∠DAB. Он опирается на дугу DB.
20. Шаг 20: Рассмотрим вписанный угол ∠DCB. Он опирается на дугу DB. Следовательно, ∠DAB = ∠DCB.
21. Шаг 21: Угол ∠ABD = 43° (дан). Он опирается на дугу AD.
22. Шаг 22: Угол ∠ACD опирается на дугу AD, следовательно, ∠ACD = 43°.
23. Шаг 23: Пусть хорды AB и CD пересекаются в точке O. Тогда ∠AOC = 90°.
24. Шаг 24: В прямоугольном треугольнике AOC, ∠CAO + ∠ACO = 90°.
25. Шаг 25: ∠CAO — это искомый угол ∠CAB.
26. Шаг 26: ∠ACO — это часть угла ∠ACD.
27. Шаг 27: Вернемся к дугам. Дуга AD = 2 * ∠ABD = 2 * 43° = 86°.
28. Шаг 28: Угол ∠BCD опирается на дугу BD.
29. Шаг 29: Угол ∠BAD опирается на дугу BD.
30. Шаг 30: Угол ∠CAD опирается на дугу CD.
31. Шаг 31: Угол ∠CBD опирается на дугу CD. Значит ∠CAD = ∠CBD.
32. Шаг 32: Угол ∠ABC опирается на дугу AC.
33. Шаг 33: Угол ∠ADC опирается на дугу AC. Значит ∠ABC = ∠ADC.
34. Шаг 34: Рассмотрим угол ∠CDB. Он опирается на дугу CB.
35. Шаг 35: Угол ∠CAB опирается на дугу CB. Значит ∠CAB = ∠CDB.
36. Шаг 36: Рассмотрим треугольник, образованный пересечением хорд AB и CD. Пусть точка пересечения O.
37. Шаг 37: В треугольнике BOD, ∠BOD = 90° (по условию перпендикулярности хорд).
38. Шаг 38: ∠OBD = ∠ABD = 43°.
39. Шаг 39: Тогда ∠ODB = 90° - 43° = 47°.
40. Шаг 40: Угол ∠CDB = ∠ODB = 47°.
41. Шаг 41: Поскольку ∠CAB опирается на ту же дугу CB, что и ∠CDB, то ∠CAB = ∠CDB.
42. Шаг 42: Следовательно, ∠CAB = 47°.

Ответ: 47